Cuando hablamos de Matemáticas, lo primero que pensamos es en números. Números para contar, números para calcular, números para comprar y vender, números que expresan el tiempo que pasa, el tiempo que queda…

Pero además de todas estas utilidades de los números que tenemos asumidas y que forman parte inseparable de nuestra cultura y nuestra forma de vida, los números aparecen también en multitud de situaciones increíbles, con sus reglas y pautas, y son conocidos y utilizados por todo tipo de seres vivos.

¿Sabrán matemáticas los animales y las plantas?

 

La avispa solitaria

Un ejemplo impresionante que nos muestra cual puede ser el sentido numérico de los animales es el de la avispa solitaria. La avispa madre pone sus huevos individualmente en celdas separadas y entonces suministra a cada celda un cierto número de orugas vivas de las que se alimentarán las crías cuando salgan del cascarón.

Lo asombroso es que el número de orugas es sorprendentemente uniforme para Avispa eumeneslos diferentes tipos de avispas –algunos tipos de avispas colocan 5 orugas por celda, otros 12, e incluso otros más de 24.

El caso más sorprendente de todos son las avispas “eumenus”, un tipo en el cual las hembras son mucho mayores que los machos. De alguna forma, la madre avispa sabe si del huevo saldrá una avispa macho o hembra. Si el huevo es hembra la madre avispa pone en su celda 10 orugas, mientras que si es macho pone 5.

 

La sucesión de Fibonacci y las flores

A finales del siglo XII, Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, trabajó los números y estableció reglas rigurosas para operarlos entre sí y para utilizarlos en múltiples aplicaciones. Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión de números:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89....

Como se puede observar, a partir del tercero, cada número de esta curiosa sucesión se obtiene sumando los dos anteriores.

Los números de la sucesión de Fibonacci sorprendieron pronto a todos los biólogos. Como muy bien nos enseña la filotaxia, las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por Girasoleso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.

Además, el número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144. En el de la imagen, 34 y 55.

Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.

Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de Fibonacci, 8 y 13; o 5 y 8.

¿No es sorprendente? Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos del crecimiento los términos de la sucesión de Fibonacci.

 

 

¿Eran muy distintas las matemáticas que estudiaron nuestros padres y abuelos de las que se estudian en la actualidad?

¿Cómo han evolucionado los libros de texto de Matemáticas?

A continuación podéis ver algunas de las páginas y las tapas de los libros con los que se estudiaba matemáticas en la primera mitad del siglo pasado.

Enciclopedia_Año 1933

Números decimales_Enciclopedia año 1933

Números decimales_Enciclopedia año 1933

 

Aritmética_Año 1950

Quebrados_Aritmética año 1950

Sistema Métrico Decimal_Aritmética año 1950

Sistema Métrico Decimal_Aritmética año 1950

 

El Cálculo en la vida diaria_Año 1964

División por una cifra_Cálculo año 1964

El Sistema Métrico Decimal_Cálculo año 1964

El Sistema Métrico Decimal_Cálculo año 1964

Desde hace meses los medios de comunicación y los científicos de todo el mundo están pendientes de la evolución del virus de la gripe A H1N1. Hay preguntas que todos querrían saber contestar: ¿Se convertirá la gripe A en una pandemia devastadora o quedará en un susto con evolución positiva? ¿Estamos ante el final del problema o lo que ocurre ahora es solo un aviso de lo que puede llegar después?

Virus H1N1De momento no podemos responder a estas preguntas, pero la única manera de aproximarnos a las respuestas es trabajar utilizando modelos, modelos matemáticos.En España, el biólogo y matemático de la Universidad de Girona Jon Saldaña trabaja en modelización de epidemias, utilizando una herramienta matemática muy sofisticada, el “estudio de las redes complejas”

Los modelos basados en redes complejas usan parámetros no sólo de la propia enfermedad, sino de la sociedad en que ésta se manifiesta. El punto de partida es una obviedad: no es lo mismo un brote de Ébola en un poblado aislado en África que uno de gripe aviar en el superpoblado sureste asiático. Pero lo difícil es afinar: definir la estructura social en México y compararla con la de Madrid o Nueva York. Esto hace que los modelos, por ahora, no puedan predecir bien la evolución de una pandemia. “Más bien pasa como en la economía, que explican a posteriori por qué pasa lo que pasa”, dice Saldaña.

Sin embargo los modelos sí que resultan ya muy útiles a la hora de decidir las medidas de contención de una epidemia. “Los modelos en epidemiología sí son de gran importancia para el estudio del impacto de distintas medidas que se pueden aplicar para el control de la epidemia (cuarentenas, estrategias de vacunación, etc.)”, señala Saldaña.

En cualquier caso, si se quiere mejorar los modelos, hay que incluir variables demográficas. Mientras tanto, es fundamental concentrarse en conocer mejor los números que ‘definen’ la propia epidemia. En el caso de la actual, estos son algunos:

El ‘número básico reproductivo’, o R0, es el número de nuevos casos a los que dará lugar cada persona infectada. Las estimaciones de todos los expertos sobre este número son parecidas. Así, la revista Nature publicó en Mayo un estudio del epidemiólogo Ira Longini, en el que da un R0 de 1,4; Casi a la vez se publicó en Science un trabajo dirigido por el matemático Neil Ferguson, director del centro de modelización epidemiológica del Imperial College London, concluyendo que cada persona con gripe A podría contagiar a entre 1,2 y 1,6.

Otro número clave es la tasa de mortalidad. Hay aún pocos datos de todo el mundo para tener una buena estimación. Además en México, donde más casos se han dado, los datos no se consideran fiables. Pero en principio los expertos dan una tasa de mortalidad de 0,4%, que podría oscilar entre el 0,3% y el 1,5%. Es inferior a la de la gripe de 1918.

El tiempo de incubación, antes de que un infectado empiece a infectar a otros, también es importante. En el ‘News’ de Nature se da una estimación de entre 3 y 5 días, probablemente más cerca de 3. Cuanto mayor sea R0, y más bajo el tiempo de incubación, más rápido se propaga la enfermedad y más difícil es de controlar.

Viñeta sobre el virus de la gripe ATodos los investigadores comparan estos números con los de las epidemias de gripe anteriores, y coinciden en señalar que las cifras son más positivas que en la célebre epidemia de 1918.

El ya citado Ferguson dice: “La gripe A ha estado siguiendo hasta ahora un patrón muy similar al de la pandemia de gripe de 1957, en cuanto a la proporción de población que se está infectando y el porcentaje de casos potencialmente fatales. Lo que vemos no es lo mismo que la gripe estacional y aún hay motivos para la preocupación (esperamos que esta pandemia al menos duplique la carga sobre nuestros sistemas sanitarios). Sin embargo, esta modelización inicial sugiere que el virus H1N1 no se transmite tan fácilmente ni es tan letal como la pandemia de 1918”.

Sólo queda esperar que los modelos no se equivoquen.

 

 

Números primos y criptografíaDesde que el hombre ha necesitado comunicarse con los demás ha tenido la necesidad de que algunos de sus mensajes solo fueran conocidos por las personas a quien estaban destinados. Por ello surge la creación de sistemas de cifrado, de forma que un mensaje después de un proceso de transformación, lo que llamamos cifrado, solo pudiera ser leído siguiendo un proceso de descifrado.

La palabra criptología proviene de las palabras griegas kryto y logos y significa estudio de lo oculto. La criptología se divide en dos ramas: la criptografía, que se ocupa del cifrado de mensajes y el criptoanálisis, que se ocupa de descifrarlos. Actualmente la criptografía está presente en numerosos aspectos de la vida cotidiana, aunque apenas se note porque opera de forma silenciosa. Sistemas o dispositivos tan usuales como la telefonía móvil, la televisión de pago o el comercio electrónico no serían posibles sin la implementación de técnicas criptográficas que permitan garantizar la seguridad e inviolabilidad de las comunicaciones.

¿Y qué “pintan” aquí los números primos?

El Teorema Fundamental de la Aritmética dice que para cada número existe una manera de escribirlo como producto de números primos, pero no nos dice cómo hacerlo. Así, por ejemplo, 10 = 2 × 5 y 18 = 2 × 3 × 3. Si consideramos un número natural “pequeño”, digamos 3.780, podemos descomponerlo fácilmente en producto de primos haciendo divisiones sencillas: 3.780 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 7.

Número primoUno pensaría que esta operación, ejercicio habitual en la escuela primaria, se puede hacer con cualquier número. Esto no es así ni mucho menos. Es fácil, con los ordenadores de hoy en día, multiplicar dos números grandes para conseguir un número compuesto, pero es muy difícil la operación inversa. En general, encontrar los números primos que dividen a un número dado es un problema muy difícil, y no sólo desde un punto de vista teórico, sino también computacional. Es decir, que ni el ordenador más potente puede encontrar, en un tiempo razonable, los divisores primos de un número un poco “grande”. Tanto es así que muchos métodos de codificación de información usan este hecho.

Los primeros sistemas de transmisión de mensajes secretos se basaban en el intercambio de una clave entre el emisor y el receptor con un contacto directo previo (sistema de cifrado simétrico). Esto, en comunicaciones a grandes distancias no era muy práctico ya que hacía necesario que emisor y receptor se juntasen cada vez que motivos de seguridad obligaban a cambiar la clave.

En 1977, Rivest, Shamir y Adleman, científicos del MIT (Masachussests Institute of Technology) en EEUU, idearon un esquema de cifrado de clave pública (sistema de cifrado asimétrico). Según este método, llamado RSA por las iniciales de los apellidos de sus creadores, el receptor hace público un número natural “grande”, del cual conoce su descomposición en factores primos. Este número es usado por el emisor para cifrar sus mensajes. La idea es que aunque todo el mundo tiene acceso a la clave pública y al mensaje cifrado, éste sólo puede ser descifrado si se conocen los números primos que dividen al número clave.

Para que nos hagamos una idea de qué significa “grande”, actualmente se considera segura una clave pública dada por un número natural de más de 300 cifras. Por supuesto, a medida que evolucionan las capacidades de los ordenadores, la idea de lo que es un número “grande” va cambiando. Por ejemplo, los creadores del esquema RSA predijeron que un mensaje encriptado por ellos usando un número de 129 cifras como clave, tardaría en descifrarse 40 trillones de años. Sin Intentando descifrar la claveembargo, a principios de los años noventa, mediante la colaboración de 1.600 ordenadores durante 8 meses, se consiguió descifrar. Esto, a pesar del error en las predicciones de sus creadores, más que restar validez al método RSA, muestra su fortaleza e ilustra la dificultad de un problema tan aparentemente sencillo como es la descomposición de un número como producto de primos.

Estas aplicaciones de los números primos en el campo de la criptografía muestran cómo las Matemáticas más abstractas pueden tener relación directa con actividades tan mundanas como el uso de un cajero automático.

Les Luthiers

 

Les Luthiers es un quinteto musical argentino que, desde los años sesenta y hasta ahora, llevan desarrollando una dilatada carrera en el mundo del espectáculo. Sus composiciones, siempre originales, estás llenas de humor, y abordan todo tipo de temas. Una de sus canciones se llama Teorema de Thales, y, aunque parezca mentira, habla precisamente de eso: del Teorema de Thales.

 

Te recordamos brevemente el Teorema, que sin duda aparece en tu libro de Matemáticas:

Teorema de Tales

Desde luego, parece que no se puede hacer música de algo tan técnico, pero la genialidad de Les Luthiers ha puesto ritmo al teorema y lo ha hecho… ¡divertido!

Aquí tienes la letra de la canción, pero no olvides escucharla: visita en youtube la dirección http://www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY , donde se aprecia el ritmo de la misma y se ejemplifica claramente el teorema.

Letra de la cancion Teorema de Thales, de Les Luthiers