¿Te resulta difícil o aburrido multiplicar dos números grandes? Si sigues leyendo, descubrirás un método, cuando menos curioso, para realizar estas multiplicaciones.

Con origen probablemente indio, el método de la retícula o de la criba, fue popularizado por las aritméticas árabes y se extendió posteriormente a Europa a través del libro llamado Aritmética de Treviso (1478), primer libro de matemáticas impreso. Este método para realizar multiplicaciones resulta útil para multiplicaciones de números largos.

Dos de las páginas del libro 'Aritmetica de Treviso'

Observa la mecánica de este método con el siguiente ejemplo.

Supongamos que queremos multiplicar el número 251096 por el número 5274083. Disponemos ambos números tal como se indica en la figura. Las calles correspondientes a cada cifra en la retícula se cruzan formando unos cuadrados que están divididos verticalmente en dos por su diagonal. En cada uno de estos cuadrados de la retícula disponemos el producto de las cifras correspondientes a las calles que se cruzan en dicho cuadrado, de manera que la cifra de las unidades quede a la derecha de la diagonal y la de las decenas a la izquierda.

Un método árabe para realizar multiplicaciones

Una vez hechos todos los productos y dispuestas las cifras de los resultados de la manera que se ha indicado, basta sumar las cifras que se encuentran en cada carril vertical. Se procederá de derecha a izquierda, arrastrando al carril siguiente, cuando proceda, las decenas que nos “llevemos”.

El número así obtenido es el producto. En nuestro caso:

251096 x 5274083 = 1324301144968

A lo largo de la historia, son muchos los matemáticos y amantes de las matemáticas que han estudiado a fondo los números y han buscado relaciones entre ellos, y en ocasiones han atribuido propiedades mágicas o esotéricas a ciertos números muy particulares. Nos ocupamos hoy de algunos de estos números “particulares”.

Números primos

Sin duda conocéis los números primos. Son números naturales que no tienen divisores propios, es decir, que sólo se pueden dividir por el número 1 y por ellos mismos. Así, son primos el 2, el 3, el 7, el 19, el 43, etc.

Números primosEl estudio de los números primos es fascinante porque no hay ningún algoritmo o método que nos permita calcular un número primo cualquiera, aunque sí se han encontrado resultados parciales. En la actualidad, los números primos se utilizan entre otras cosas para cifrar los códigos de cuentas bancarias y tarjetas de crédito, aprovechando la dificultad que tiene descomponer en números primos un número que tenga una cantidad muy grande de cifras.

Ordenadores en red en todo el mundo trabajan intentando encontrar una pauta en los números primos. Así, en 2003 se descubrió un número primo que tiene ni más ni menos que 6.320.430 dígitos, que es el resultado de la operación 220.996.011-1, a través del Proyecto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). En 2008, un grupo de matemáticos pertenecientes a la Universidad de California (UCLA), en Los Ángeles, ganó un premio de 100.000 dólares al haber encontrado un número primo de 13 millones de dígitos. Como podéis ver, los descubrimientos al respecto de los números primos van de la mano de los avances en informática…

Números perfectos

Otros números famosos son los números perfectos. Estos números impresionaron mucho a los matemáticos de la antigüedad, que buscaban interpretaciones mágicas para sus propiedades.

Un número natural se llama perfecto cuando se puede escribir como la suma de todos sus divisores, exceptuando él mismo.

Por ejemplo, el 6 es perfecto, ya que 6 = 1+2+3

Respecto a este número hay incluso interpretaciones de San Agustín y de otros comentaristas del Antiguo Testamento. Según San Agustín, no obstante haber podido crear Dios el mundo en forma instantánea, prefirió emplear seis días porque “la perfección del número 6 significa la perfección del mismo Dios”.

Los números perfectos son difíciles de encontrar. Hoy en día sólo se conocen veinticuatro “números perfectos”, que tienen longitudes verdaderamente increíbles: el vigésimo cuarto número perfecto tiene más de doce mil cifras.

Lejos de lo que hacían nuestros antepasados, estos números se manejan e investigan en la actualidad utilizando ordenadores, y tened en cuenta que quedan aún muchas repuestas por encontrar. Entre otras: ¿Existirá algún número perfecto impar? Y la más importante: ¿Son de utilidad los números perfectos, o sirven simplemente como curiosidad y entretenimiento?

Números amigos

Si dos números naturales cumplen que la suma de los divisores (exceptuando ellos mismos) de cada uno de ellos es igual al otro entonces estos números se llaman números amigos.

Por ejemplo 220 y 284 son números amigos ya que:

220 tiene como divisores a 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110 y su suma es 284

284 tiene como divisores a 1, 2, 4, 71 y 142 y su suma es 220

Como siempre, hay “leyendas” en torno a estas propiedades numéricas. Así, en la Edad Media, existió la creencia de que si se daba de comer a dos personas (al mismo tiempo pero no en el mismo lugar) sendos alimentos que contenían la inscripción 220 para uno y 284 para el otro, entonces se volvían amigos por arte de magia.

Números amigosPero no creas que es fácil obtener números amigos. Fue en el siglo IX cuando el matemático árabe Thabit Ibn Qurra encontró una regla para obtener números amigos. Después, en el siglo XVII, Fermat redescubrió esta regla, con lo que obtuvo el segundo par de números amigos, 17296 y 18416 (Fermat “olvidó” dos parejas). Descartes obtuvo el tercer par, 9.363.584 y 9.437.056. Y Euler, más tarde, llegó a obtener 59 pares de números amigos.

Por último, date cuenta de la definición que nos queda de número perfecto, una vez que sabemos lo que son los números amigos:

Un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo

Conocida popularmente desde el siglo XIX como Las Meninas, el cuadro fue titulado originalmente como La familia de Felipe IV y es, probablemente, la obra más importante del pintor español Diego Velázquez. Es una pintura de 1656 realizada al óleo sobre un lienzo de grandes dimensiones, con las figuras representadas a tamaño natural. Se halla expuesta en el Museo del Prado de Madrid.

Las Meninas de Velázquez

Es una de las obras pictóricas más analizadas y comentadas en el mundo del arte. La escena transcurre en una de las estancias del Alcázar de Madrid. La infanta Margarita se encuentra en el centro de la composición, un factor que, junto a la luminosidad que le ha dado el pintor, la convierte en el personaje más relevante del cuadro. A sus lados, Isabel Velasco y Agustina Sarmiento son las “meninas”, junto a las que se encuentran los enanos de la corte, en actitud lúdica con el perro que hay a sus pies. En un segundo plano, en la penumbra, vemos a Marcela de Ulloa y a un hombre anónimo. A la izquierda aparece el autorretrato de Velázquez, realizando su labor como pintor de la corte y, al fondo de la estancia, se encuentra José Nieto, aposentador de la reina, en una posición que destaca por ser el centro de la perspectiva del cuadro.

Finalmente, podemos ver dos personajes más de máxima importancia: en la pared del fondo, junto a la puerta, se reflejan en el espejo las figuras de Felipe IV y Mariana de Austria. Si no fuera por el toque de luz que el pintor da al espejo no repararíamos en ellos, e incluso parece que sea un cuadro más dentro de la estancia. Este juego visual, un tanto enigmático, nos permite obtener más información de las personas que hay en el espacio representado.

¿Y dónde encontramos matemáticas en Las Meninas?

El cuadro tiene una composición que se ordena desde una sección áurea en espiral que parte del pecho de la infanta Margarita.

Muchos artistas del Renacimiento emplearon la sección áurea en sus dibujos, por ejemplo el gran maestro Leonardo Da Vinci. Ya en el año 1509 el matemático Luca Pacioli, publicó el libro De Divina Proportione y en 1525 Alberto Durero publicó Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas, donde describe cómo trazar la espiral basada en la sección áurea con regla y compás, que se conoce con el nombre de "espiral de Durero".

Velázquez, Las Meninas y las Matemáticas

Velázquez, en la composición áurea de su cuadro Las Meninas, lo ordena con la mencionada espiral, cuyo centro está situado sobre el pecho de la infanta Margarita, marcando con ello el centro visual de máximo interés y el significado simbólico del lugar reservado para los escogidos, como era tradición en Europa, que el monarca ocupara el lugar central y de privilegio en las ceremonias. No hay que olvidar que en el momento de la creación de la pintura, la infanta Margarita era la persona más indicada como sucesora al trono, ya que Felipe IV no tenía en ese momento ningún hijo varón.

Por último, se pueden observar tres triángulos isósceles semejantes que enmarcan las zonas centrales más iluminadas. El más grande recoge a la mayoría de los personajes (sólo faltan Nicolasillo y el propio pintor), el siguiente enmarca las tres figuras centrales: la infanta Margarita y las dos meninas (María Agustina Sarmiento a la izquierda e Isabel de Velasco a la derecha). Los triángulos son isósceles porque la inclinación de los cuerpos es parecida. El triángulo más pequeño es el que incluye a la infanta y a una de las meninas.

El autor de Alicia en el País de las Maravillas y Alicia a través del espejo no se llamaba en verdad Lewis Carroll, sino Charles Lutwidge Dogson, ni tampoco era su oficio escribir cuentos para niños. Dodgson era un curioso profesor de matemáticas de la Universidad de Oxford que se atrevió a ensayar un montón de cosas interesantes que se le pasaban por la imaginación, alguna de ellas, como el primer libro de Alicia, con un éxito incomparable.

Diferentes traducciones, ilustraciones y adaptaciones de los cuentos de Alicia han permitido que actualmente existan en el mundo los coleccionistas de Alicia en el País de las Matemáticas, que se ocupan con afán de todas las variantes del famoso libro.

Con el estudio y divulgación de la lógica matemática, los libros de Carroll-Dodgson son aún, hoy en día, ejemplares únicos, motivadores de inacabables consideraciones filosóficas, lógicas o de lenguaje. Podríamos recordar aquí dos pasajes. En el País de las Maravillas se dice:

- Entonces –continuó la liebre-, deberías decir lo que piensas.

- Pero ¡si es lo que estoy haciendo! –se apresuró a replicar Alicia-. Al menos…, al menos pienso lo que digo…, que después de todo viene a ser la misma cosa, ¿no?

- ¿La misma cosa? ¡De ninguna manera! –negó enfáticamente el Sombrerero-. ¡Hala! Si fuera así, entonces también daría igual decir “veo cuanto como” que “como cuanto veo”.

Y en Alicia a través del espejo podemos encontrar este diálogo:

- ¡Ah! Pues es una mermelada excelente –insistió la Reina.

- Bueno, en todo caso, lo que es hoy no me apetece nada.

- Hoy es cuando no podrías tenerla aunque te apeteciera –atajó la Reina. La regla es: mermelada, mañana y ayer…, pero nunca hoy.

- Alguna vez tendrá que tocar “mermelada hoy” –objetó Alicia.

- No, no puede ser –dijo la Reina-. Ha de ser mermelada un día no, y otro sí, y hoy nunca puede ser otro día, ¿no es cierto?

- No comprendo nada –dijo Alicia- ¡Qué lío me he hecho con todo esto!

Esta literatura singular para mayores y para niños, con el fin de divertirse y meditar, hizo posible que el éxito de los libros fuera mayúsculo desde su aparición. A la reina Victoria de Inglaterra le gustó tanto Alicia en el País de las Matemáticas que ordenó inmediatamente que le fueran enviando para su biblioteca particular todo lo que Lewis Carroll publicar. La gran sorpresa de la reina Vitoria fue recibir la siguiente obra: ¡un tratado de geometría!

Alicia en el País de las MatemáticasAlicia en el país de las maravillas no es solamente un cuento infantil. La condición de matemático de Carroll ejerce una influencia tremenda en esta obra. Alicia en el país de las maravillas está lleno de guiños matemáticos, entre los que podemos encontrar referencias al álgebra, a la teoría de números, a la lógica, al análisis…

Pero hay otros muchos detalles del libro que sugieren conceptos matemáticos:

En el capítulo 1, Por la madriguera del conejo, ciertos comentarios de Alicia mientras sufre una caída interminable por la madriguera recuerdan al concepto de límite.

En el capítulo 2, El charco de lágrimas, Alicia dice:

Veamos, cuatro por cinco son doce, cuatro por seis son trece y cuatro por siete… ¡Ay, Dios mío! ¡Así no llegaré nunca a veinte!

Esas operaciones no están bien hechas…si usamos el sistema de numeración decimal. Usando otros sistemas de numeración las operaciones son correctas. Concretamente, en base 18 y en base 21. Siguiendo la línea, tenemos que en, como se podría imaginar, base 24.

En el capítulo 5, Consejos de una oruga, la paloma afirma que las niñas pequeñas son un cierto tipo de serpiente, ya que las dos comen huevo. Esta deducción recuerda al cambio de variables que se utiliza en multitud de ocasiones en matemáticas.

En el capítulo 7, Una merienda de locos, Alicia toma como iguales las acciones “digo lo que pienso” y “pienso lo que digo”, a lo que el sombrerero responde que eso sería lo mismo que decir que “veo cuanto como” es lo mismo que “como cuanto veo”. Esto recuerda en cierta medida a una función y su inversa.

La curiosa característica que posee el Gato de Cheshire, a saber, desaparecer casi totalmente, dejando únicamente su sonrisa, hace ver a Alicia que muchas veces ha visto un gato sin sonrisa, pero ninguna ha visto una sonrisa sin gato. Este tipo de abstracción profunda es muy usada en matemáticas, y en concreto fue objeto de ciertos acontecimientos matemáticos de la época en la que Carroll escribió su libro.

El Monasterio de San Lorenzo de El Escorial (segunda mitad del siglo XVI), edificio que mandó construir Felipe II para conmemorar la victoria de San Quintín y en honor de San Lorenzo, además de servir de mausoleo de la monarquía, tuvo la función de albergar la biblioteca real. El eje central del edificio muestra alineados el trono, el panteón, el altar…, y la biblioteca.

Otra muestra de la importancia de la biblioteca del monasterio es su decoración, que transforma la biblioteca en todo un estimulante recorrido por el mundo de la sabiduría y sus artífices.

La bóveda de cañón del techo de la biblioteca se encuentra dividida en siete espacios decorados con frescos. El lugar central de cada uno está ocupado por una matrona que representa una de las siete artes liberales: la Gramática, la Retórica, la Dialéctica (TRIVIUM), la Aritmética, la Música, la Geometría y la Astronomía (CUADRIVIUM). Se consideraba que la Aritmética era el estudio del número en estado puro, que la Geometría era el estudio del espacio en estado puro, que la Música era el estudio del número en movimiento y que la Astronomía era el estudio del espacio en movimiento.

Bóveda de la Biblioteca de El Escorial

Cada una de las bellas mujeres tiene los atributos y decoración característicos de su actividad. En los laterales correspondientes se encuentran cuatro personajes destacados en cada disciplina y dos escenas adecuadas. Pocas veces la matemática se encuentra tan explícita y con tanta intensidad. Recordamos su contenido:

LA ARITMÉTICA. Matrona vestida rodeada de jóvenes desnudos y tablas con Friso relativo a la 'Aritmética'operaciones. Los dedos de la mano muestran su habilidad para el cálculo. Los laterales representan a Jordan (Giordano Nemorano), Genocrates (Jenócrates – conciliador de platonismo y pitagorismo), el pitagórico Arquitas y a Boecio. Una escena lateral muestra al pueblo mítico de los Gimnosofistas discutiendo numéricamente sobre el alma con progresiones geométricas sobre un tetraedro. En la otra escena el rey sabio mago se encuentra con la reina de Saba (la inscripción en hebreo dice: «todo tiene número, peso y medida»).

LA MÚSICA. Según el autor, subordinada a la aritmética. Las siete cuerdas del instrumento de la matrona, las siete notas, refuerzan el significado de Siete días, las Siete artes, las Siete virtudes y los Siete sacramentos. Desde el punto de vista matemático nos interesa Pitágoras que aparece con un martillo haciendo alusión al descubrimiento de la música mediante la acción de golpear.

LA GEOMETRÍA. En la escena central ya puede verse el compás, las escuadras, las Friso relativo a la 'Geometría'pirámides, la rosa de los vientos. En los laterales Arquímedes con esfera y compás, Regiomontano con dodecaedro, Aristarco (de Samos) con icosaedro y midiendo ángulos celestes y Abd-el Aziz… Una de las escenas laterales nos muestra a Arquímedes muerto por los romanos mientras procede a la demostración del teorema de Pitágoras (proposición 47 del libro I de los Elementos de Euclides). La otra escena recuerda los orígenes de la Geometría, con los sacerdotes egipcios reparcelando el cauce del Nilo: el mítico Hermes se encuentra entre ellos.

LA ASTRONOMÍA. Junto a la correspondiente matrona se pueden ver la esfera celeste, la terrestre, la armilar y el compás. Los personajes característicos son Ptolomeo con esfera armilar, Alfonso X con la constelación del Carro, Euclides con diversos símbolos y Sacrobosco con sextante. Las escenas laterales cuentan la anticipación del eclipse de la muerte de Cristo por Dionisio Aeropagita y la escena bíblica de Ezequías a Isaías con el reloj solar.

Todo el escenario alegórico de las bóvedas se cierra con los sólidos platónicos (dodecaedro e icosaedro), la esfera armilar y el compás.

El Monasterio de El Escorial está repleto de matemáticas, la visión estremecedora de la Biblioteca no debe ser obstáculo para olvidarse de las puertas del Salón de Embajadores en la zona palaciega. Pero ésta es otra historia.