curiosidades8_01-matematicas-planeta-tierra-webAntiguamente el hombre utilizaba herramientas elementales para establecer su posición: la brújula magnética, el astrolabio y más tarde el sextante. El sextante nos permite medir ángulos desde el horizonte hasta una estrella o el mismo Sol, y de esta manera obtener un lugar geométrico relativo al observador. Si el observador calcula varias medidas, puede deducir que se encuentra en la intersección de varios lugares geométricos y, por lo tanto, establecer su posición exacta. Sorprendentemente, tales razonamientos geométricos elementales aún son necesarios en las sofisticadas técnicas modernas de localización. En el caso del sextante, le permitiría al observador deducir algunos datos acerca de su posición relativa a una estrella. En el caso del sistema GPS, el receptor mide algunos datos sobre su posición relativa a una red de satélites, cuya posición se conoce. Entremos en mayor detalle. .¿Cómo funciona el sistema?

El Departamento de Defensa de Estados Unidos ultimó la constelación de satélites GPS en julio de 1995 y quedo autorizado su uso para el público en general. En su primer despliegue, el sistema se componía de 24 satélites, y estaba diseñado de tal manera que al menos 21 de ellos estarían funcionando durante un 98% del tiempo. En 2011 el sistema aumento a 30 satélites NAVSTAR, al menos 24 de los cuales estaban en pleno funcionamiento, mientras los otros o proporcionaban una precisión mayor al sistema o garantizaban su seguridad en el caso de que fallase uno de los satélites. Los satélites se sitúan a 20.200 km de la superficie de la Tierra y se distribuyen en órbitas contenidas en seis planos diferentes (los planos orbitales). Cada plano tiene una inclinación de 55 grados respecto al ecuador terrestre (figura 1) y contiene al menos cuatro satélites por plano orbital, casi equidistantes los unos de los otros. Cada satélite tarda 11 horas y 58 minutos en hacer una órbita circular alrededor de la Tierra y se sitúan de tal manera que se puedan localizar al menos 4 satélites sobre la Tierra en cualquier momento. Ahora veremos el porqué.

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Cálculo de posición mediante un receptor GPS
curiosidades8_03-esferas-webToda esta constelación de satélites, ¿cómo permite calcular la posición exacta de un receptor? La posición de los satélites se conoce en todo momento y, además, estos emiten señales electromagnéticas a una frecuencia preestablecida. Hace falta un receptor especial para utilizar el sistema que graba las señales y las utiliza para calcular el tiempo del recorrido de las señales al restar la hora grabada de su llegada de la hora conocida de su salida. Al hacer una computación de estos datos de un satélite determinado, el receptor calcula la distancia que lo separa de este satélite (esta distancia es simplemente el tiempo del recorrido de la señal multiplicado por la velocidad de la luz, que es la velocidad de propagación de las señales). Los puntos que están a una distancia determinada del satélite forman una esfera. Por lo tanto, a partir de cada medida el receptor puede deducir que se encuentra sobre una esfera centrada en dicho satélite. Basta intersecar cuatro de estas esferas para encontrar el punto en el que está situado el observador.
En general, la intersección de dos esferas forma un círculo (figura 2 a). Puesto que, en general, un círculo y una esfera se cruzan en dos puntos (figura 2 b), a partir de solo tres medidas el receptor puede deducir que se encuentra en uno de estos dos puntos (figura 3). Una cuarta medida permitiría al receptor descartar uno de los puntos de intersección y, por lo tanto, establecer su posición con exactitud. Sin embargo, esto no es necesario, ya que los satélites se sitúan de tal manera que el otro punto se encuentre muy lejos de la superficie de la Tierra, y queda descartado por no ser nada realista.
Entonces, ¿por qué necesitamos al menos cuatro satélites en órbita para poder utilizar el sistema GPS?
No cabe la explicación en estas pocas líneas. Tal vez en una nueva edición del Club de las Matemágicas hablemos de nuevo del GPS y tengamos ocasión de verlo.

 Fuente: Matemáticas del Planeta Tierra. Fundación Española para la Ciencia y la Tecnología